Διόφαντος ο πρώτος μεγάλος αριθμοθεωρίστας

Διόφαντος ο πρώτος μεγάλος αριθμοθεωρίστας


Υπάρχουν δύο όψεις στη μελέτη των αριθμών — η ανίχνευση σχέσεων μεταξύ αριθμών και η ανάπτυξη της τέχνης του υπολογισμού με αριθμούς. Στους αρχαίους Έλληνες, η πρώτη ήταν γνωστή ως αριθμητική και η δεύτερη ως λογιστική. Αυτή η ταξινόμηση διατηρήθηκε όλο το Μεσαίωνα μέχρι περίπου τα τέλη του 15ου αιώνα, οπότε παρουσιάστηκαν κείμενα που πραγματεύονταν και τις δυο πιο πάνω όψεις κάτω από το κοινό όνομα αριθμητική.

Είναι γενικά αποδεκτό πως τα πρώτα βήματα στην ανάπτυξη της θεωρίας αριθμών έγιναν από τον Πυθαγόρα και τους οπαδούς του, σε συνδυασμό με τη φιλοσοφία της αδελφότητας των πυθαγορείων ότι οι ακέραιοι αριθμοί ελέγχουν το Σύμπαν. Μεγάλο μέρος αυτού του έργου αποτέλεσε τη βάση για το μυστικισμό που αναπτύχθηκε αργότερα πάνω στους αριθμούς.

Στην ιστορία των μαθηματικών υπάρχει κάποιος άνδρας που αποτελεί ίσως την πρώτη αληθινή ευφυία στο πεδίο της θεωρίας αριθμών. Μια από τις εργασίες του μάλιστα επηρέασε τόσο πολύ τους μεταγενεστέρους του ευρωπαίους αριθμοθεωριτικούς ώστε η γέννηση της να δικαιούται να χαρακτηριστεί ως μια μεγάλη στιγμή των μαθηματικών. Ο άνδρας αυτός είναι ο Διόφαντος και η εργασία που αναφέραμε τα περίφημα Αριθμητικά του. Υπάρχουν κάποιες φτωχές ενδείξεις που τοποθετούν τον Διόφαντο στον 1ο αιώνα, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί τον τοποθετούν στον 3ο αιώνα. Πέρα από το γεγονός ότι έζησε στην Αλεξάνδρεια, τίποτ' άλλο δεν είναι γνωστό για την προσωπική ζωή του.

Ο Διόφαντος έγραψε τρεις μαθηματικές εργασίες: τα Αριθμητικά, από την οποία έχουν σωθεί μόνο έξι από τα δεκατρία βιβλία, Για τους Πολυγωνικούς Αριθμούς, από την οποία υπάρχει ένα μόνο μέρος και τα Πορίσματα, που έχουν χαθεί.

Τα Αριθμητικά είναι μια μεγάλη και εντελώς πρωτότυπη εργασία. Είναι μια αναλυτική αντιμετώπιση της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών που χαρακτηρίζει το συγγραφέα ως έξυπνο δεξιοτέχνη αυτού του πεδίου. Πολλοί σχολιαστές ασχολήθηκαν με αυτή την εργασία, αλλά ο Ρεγιομοντάνος ήταν αυτός που στα 1463 ζήτησε μια λατινική μετάφραση του σωζόμενου ελληνικού κειμένου. Την πρόκληση αποδέχτηκε ο Ξυλάντερ (Xylander, εξελληνισμένο όνομα του Wilhelm Holzmann, καθηγητή στο πανεπιστήμιο της Χαϊδελβέργης) ο οποίος έκανε μια αξιέπαινη μετάφραση που συνοδευόταν από σημαντικά σχόλια. Η μετάφραση αυτή χρησιμοποιήθηκε στη συνέχεια από τον Γάλλο Μπάσε ντε Μεζιριάκ (Bachet de Meziriac), ο οποίος στα 1621 δημοσίευσε την πρώτη έκδοση του ελληνικού κειμένου μαζί με μια λατινική μετάφραση και σημειώσεις. Στα 1670 έγινε μια δεύτερη έκδοση της ίδιας αυτής μετάφρασης, δυστυχώς όμως αρκετά απρόσεκτη. Αυτή η δεύτερη έκδοση έχει ιδιαίτερη ιστορική σημασία, διότι περιείχε, ενσωματωμένες στο κείμενο τις περίφημες σημειώσεις που έκανε ο Φερμά στο περιθώριο, σημειώσεις που προκάλεσαν πολλές έρευνες στη θεωρία αριθμών. Αργότερα εμφανίστηκαν γαλλικές, γερμανικές και αγγλικές μεταφράσεις των Αριθμητικών.

Το μέρος της Αριθμητικής που έχει σωθεί ασχολείται με την επίλυση 130 περίπου προβλημάτων μεγάλης ποικιλίας, που οδηγούν σε εξισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθμού, και λύνεται επίσης μια πολύ ειδική κυβική εξίσωση. Το πρώτο βιβλίο περιέχει εξισώσεις με έναν άγνωστο, ενώ τα άλλα βιβλία ασχολούνται με απροσδιόριστες εξισώσεις δεύτερου βαθμού με δύο και τρεις αγνώστους. Είναι εντυπωσιακή η απουσία γενικών μεθόδων και η επινόηση έξυπνων μαθηματικών τεχνασμάτων που σχεδιάζονται για τις ανάγκες κάθε συγκεκριμένου προβλήματος. Ο Διόφαντος δεχόταν μόνο θετικές και ρητές λύσεις και στις περισσότερες περιπτώσεις ήταν ικανοποιημένος όταν έβρισκε μια λύση σε ένα πρόβλημα, έστω κι αν αυτό δεχόταν κι άλλες λύσεις.

Υπάρχουν μερικά αρκετά δύσκολα θεωρήματα που διατυπώνονται στα Αριθμητικά. Για παράδειγμα, βρίσκουμε, χωρίς απόδειξη αλλά με αναφορά στα Πορίσματα, την πρόταση ότι η διαφορά δύο ρητών κύβων είναι επίσης άθροισμα δυο ρητών κύβων — ένα ζήτημα που διερευνήθηκε αργότερα από τους Φρανσουά Βιέτ (Francois Viete) ντε Μεζιριάκ και ντε Φερμά. Υπάρχουν πολλές προτάσεις σχετικά με την παράσταση αριθμών ως αθροίσματος δυο, τριών ή τεσσάρων τετραγώνων, ένα πεδίο που διερευνήθηκε και ολοκληρώθηκε αργότερα από τους ντε Φερμά, Όυλερ και Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ (Joseph Louis Langranz). Είναι ενδιαφέροιν να καταγράψουμε μερικά από τα προβλήματα των Αριθμητικών είναι όλα τους γοητευτικά και πολλά είναι προκλητικά. Πρέπει να έχουμε στο μυαλό μας ότι με τον όρο «αριθμός» εννοείται «θετικός ρητός αριθμός».



Πρόβλημα 28, Βιβλίο II: Να βρεθούν δύο τετράγωνοι αριθμοί τέτοιοι ώστε το γινόμενο τους προστιθέμενο σε καθένα απ' αυτούς να δίνει τετράγωνο αριθμό. (Η λύση του Διόφαντου (3/4)2 , (7/24)2 ).



Πρόβλημα 6, Βιβλίο III: Να βρεθούν τρεις αριθμοί τέτοιοι ώστε το άθροισμα τους να είναι τετράγωνο και το άθροισμα τους ανα δυο να είναι επίσης τετράγωνο. (Η λύση του Διόφαντου: 80, 320, 41).



Πρόβλημα 7, Βιβλίο III: Να βρεθούν τρεις αριθμοί αριθμητικής προόδου ώστε το άθροισμα τους ανά δύο να είναι τετράγωνο. (Η λύση του Διόφαντου: 120 1/2, 840 1/2, 1560 1/2).

Πρόβλημα 10, Βιβλίο IV: Να βρεθούν δύο αριθμοί τέτοιοι ώστε το άθροισμα τους να είναι ίσο με το άθροισμα των κύβων τους. (Η λύση του Διόφαντου: 5/7, 8/7).



Πρόβλημα 21, Βιβλίο IV: Να βρεθούν τρεις αριθμοί γεωμετρι­κής προόδου τέτοιοι ώστε η διαφορά τους ανά δύο να είναι τετρα­γωνικός αριθμός. (Η λύση του Διόφαντου: 81/7, 144/7, 256/7).



Τα απροσδιόριστα αλγεβρικά προβλήματα στα οποία ζητούνται οι ρητές μόνο λύσεις έχουν γίνει γνωστά ως δίοφαντικά προβλήμα­τα. Στην πραγματικότητα, η σύγχρονη χρήση του όρου υπονοεί συνή­θως τον περιορισμό των λύσεων στους ακεραίους. Είναι ενδιαφέρον να σημειώσουμε ότι ο Διόφαντος δεν επινόησε αυτού του είδους τα προβλήματα, αλλά απλά είχε το σπάνιο ταλέντο να τα χειρίζεται με ευκολία.

Θα κλείσουμε σχολιάζοντας αυτό που έχει αναδειχτεί ως το πιο φημισμένο ίσως από όλα τα διοφαντικά προβλήματα. Το πρόβλημα 8 του Βιβλίου II των Αριθμητικών λέει: «Να αναλυθεί ένας δεδομένος τετράγωνος αριθμός σε δύο τετράγωνους». Ο Φερμά, στο δικό του αντίγραφο της μετάφρασης των Αριθμητικών από τον ντε Μεζιριάκ, έγραψε στο περιθώριο την παρακάτω ερεθιστική πρόταση: «Η ανάλυση ενός κύβου σε δύο κύβους, μιας τέταρτης η γενικά οποιασδήποτε δύναμης σε δύο δυνάμεις που να έχουν τον ίδιο εκθέτη, μεγαλύτερο από το δύο, είναι αδύνατη και έχω βρει μια οπωσδήποτε θαυμάσια απόδειξη αυτού, αλλά το περιθώριο είναι πολύ στενό για να τη χωρέσει». Με άλλα λόγια, ο Φερμά δήλωνε ότι είχε αποδείξει πως δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι χ, γ, ζ, ν τέτοιοι ώστε χν + γν = zν, όπου ν>2. Αυτή η υπογραμμισμένη πρόταση έχει γίνει γνωστή ως το τελευταίο «θεώρημα» του Φερμά και το ερώτημα αν ο Φερμά είχε πραγματικά μια σωστή απόδειξη, θα παραμείνει ίσως για πάντα αναπάντητο. Πολλοί από τους πιο διακεκριμένους μαθηματικούς μετά τον Φερμά δοκίμασαν τις ικανότητες τους σ' αυτό το πρόβλημα, αλλά η πρόταση αυτή στη γενική της μορφή παραμένει ακόμα αναπόδεικτη. υπάρχει μια απόδειξη που έδωσε ο Φερμά σε άλλο σημείο για την περίπτωση ν = 4 και ο Όϋλερ έδωσε μια απόδειξη (που τελειοποιήθηκε αργότερα από άλλους) για ν = 3. Στα 1825, οι Λεζάντρ και Ντίριχλετ έδωσαν ανεξάρτητες αποδείξεις για την περίπτωση ν = 5, και στα 1839, ο Λαμέ (Lame) απέδειξε το θεώρημα για ν = 7. Η μελέτη του προβλήματος προχώρησε πάρα πολύ με το Γερμανό μαθηματικό Ε. Κούμερ (Ε. Kummer, 1810-1893). Στα 1843 ο Κούμερ έστειλε μια δήθεν απόδειξη στον Ντίριχλετ, ο οποίος διαπίστωσε ένα λάθος στο συλλογισμό. Τότε ο Κούμερ επέστρεψε στη μελέτη του προβλήματος με ανανεωμένη διάθεση και λίγα χρόνια αργότερα, αφού ανέπτυξε ένα σημαντικό και σχετικό πεδίο της ανώτερης άλγεβρας, τη θεωρία των ιδεωδών, κατέληξε σε πολύ γενικές συνθήκες για τη μη επιλυσιμότητα της σχέσης του Φερμά. Έκτοτε, όλες σχεδόν οι πρόοδοι που σημειώθηκαν πάνω στη μελέτη του προβλήματος στηρίχτηκαν στη διερεύνηση του Κούμερ.



Σχετική Βιβλιογραφία

1. Heath T.L., Diophantus of Alexandria, New York: Cambridge Univer­sity Press, 1910. 2. Sieprinski Waclaw, A selection of Problems in the Theory of Numbers,μετ. A. Sharraa, New York: Pergamon Press, 1964.3. Sierpinski Waclaw, Pythagorean Triangles, μετ. A. Sharma. NewYork: Yeshiva University, 1963 (paperback ed.).


Δεν υπάρχουν σχόλια