.. αγόρασε τα Στοιχεία του Ευκλείδη, ένα βιβλίο είκοσι τριών αιώνων...-ΜΕΡΟΣ Α-William Dunham


Από όλα τα βιβλία του δυτικού πολιτισμού μόνο η Βίβλος μελετήθηκε πιο εξονυχιστικά από τα Στοιχεία του Ευκλείδη.

 ΜΕΡΟΣ Α




 Από την Ακαδημία του Πλατωνος αποφοίτησαν πολλοί ικανοί μαθηματικοί, και ένας αναντίρρητα σπουδαίος, ο Εύδοξος ο Κνίδιος.


Μεταξύ του Ιπποκράτη και του Ευκλείδη μεσολάβησε ενάμισης αιώνας. Στη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήματος, ο αρχαίος ελληνικός πολιτισμός αναπτυσσόταν και ωρίμαζε, ενώ εμπλουτιζόταν από τα γραπτά του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη, του Αριστοφάνη και του Θουκυδίδη, ακόμη και όταν γνώρισε την αναταραχή του Πελοποννησιακού Πολέμου και τη δόξα της ελληνικής αυτοκρατορίας υπό τον Μέγα Αλέξανδρο.
Το 300 π.Χ. ο αρχαίος ελληνικός πολιτισμός είχε διαδοθεί στους λαούς της Μεσογείου και ακόμη πιο μακριά.
Στη Δύση η Ελλάδα ηγεμόνευε πέρα ως πέρα.
Κατά την περίοδο από το 440 έως το 300 π.Χ. πολλοί ήταν εκείνοι που συνεισέφεραν σημαντικά στην ανάπτυξη των μαθηματικών.
Ανάμεσά τους ο Πλάτων (427 – 347 π.Χ.) και ο Εύδοξος (περ. 408 – 355 π.Χ.), παρότι μόνον ο δεύτερος ήταν στ’ αλήθεια μαθηματικός.
Ο Πλάτων ο σπουδαίος φιλόσοφος της Αθήνας, αξίζει να αναφερθεί εδώ όχι τόσο για τα μαθηματικά που δημιούργησε όσο για τον ενθουσιασμό που προκάλεσε το αντικείμενο και την υπόσταση που προσέδωσε σ’ αυτό. Ως νέος, ο Πλάτων σπούδασε στην Αθήνα δίπλα στον Σωκράτη, και φυσικά αποτελεί για εμάς την κύρια πηγή πληροφοριών σχετικά με τον διαπρεπή δάσκαλό του. Για κάποια χρόνια ο Πλάτων περιπλανήθηκε στον κόσμο, συναντώντας μεγάλους διανοητές και διατυπώνοντας τις προσωπικές φιλοσοφικές του θέσεις. Το 387 π.Χ. επέστρεψε στην πατρίδα του, την Αθήνα, και ίδρυσε την Ακαδημία. Αφιερωμένη στη μάθηση και τον στοχασμό, η Ακαδημία προσέλκυσε ταλαντούχους μαθητές από κοντινά και μακρινά μέρη και υπό την καθοδήγηση του Πλάτωνα έγινε το πνευματικό κέντρο του κλασικού κόσμου.
Από τα πολλά αντικείμενα που διδάσκονταν στην Ακαδημία, κανένα δεν έχαιρε μεγαλύτερης υπόληψης από τα μαθηματικά. Ασφαλώς το αντικείμενο έλκυε την αίσθηση του Πλάτωνα περί τάξης και ομορφιάς, και αναπαριστούσε έναν αφηρημένο, ιδανικό κόσμο, ακηλίδωτο από τις πληκτικές ανάγκες της καθημερινότητας. Επιπλέον, ο Πλάτων θεωρούσε τα μαθηματικά τέλεια εκγύμναση του νου, με τη λογική αυστηρότητα τους να απαιτεί τη μέγιστη συγκέντρωση, ευφυΐα και μέριμνα. Σύμφωνα με τον θρύλο, στο υπέρθυρο της εισόδου της αναγνωρισμένου κύρους Ακαδημίας του υπήρχε η επιγραφή “μηδείς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω μου τήν στέγην”. Παρά τον ρητά εκφραζόμενο σεξισμό, η φράση αυτή αντανακλούσε την άποψη ότι μόνον όσοι είχαν πρώτα επιδείξει κάποια μαθηματική ωριμότητα ήταν ικανοί να αντικρίσουν τη διανοητική πρόκληση της Ακαδημίας. Μπορούμε να πούμε ότι ο Πλάτων θεωρούσε τη γεωμετρία ιδανικό προαπαιτούμενο για εγγραφή, κάτι σαν τις σημερινές εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια.
Παρότι σήμερα ελάχιστα πρωτότυπα μαθηματικά αποδίδονται στον Πλάτωνα, από την Ακαδημία αποφοίτησαν πολλοί ικανοί μαθηματικοί, και ένας αναντίρρητα σπουδαίος, ο Εύδοξος ο Κνίδιος. Ο Εύδοξος έφτασε στην Αθήνα περίπου την εποχή της δημιουργίας της Ακαδημίας και παρακολούθησε τα μαθήματα του ίδιου του Πλάτωνα. Η ένδεια του Ευδόξου τον ανάγκαζε να ζει στον Πειραιά, στα περίχωρα της Αθήνας, και να πηγαινοέρχεται καθημερινά στην Ακαδημία. Αργότερα στη σταδιοδρομία του, ταξίδεψε στην Αίγυπτο και επέστρεψε στην πατρίδα του την Κνίδο, ενώ, καθ’ όλο το διάστημα που μεσολάβησε, αφομοίωνε τις ανακαλύψεις της επιστήμης και επέκτεινε σταθερά τα όριά της.
Με ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την αστρονομία, ο Εύδοξος επινόησε πολύπλοκες εξηγήσεις των σεληνιακών και πλανητικών κινήσεων. Η επιρροή αυτών των εξηγήσεων διήρκησε μέχρι την κοπερνίκεια επανάσταση κατά τον 16ο αιώνα.
Δεν ήταν ποτέ διατεθειμένος να αποδεχθεί θεϊκές ή μυστικιστικές εξηγήσεις για τα φυσικά φαινόμενα· αντ’ αυτών προσπαθούσε πάντα να τα υποβάλει στην παρατήρηση και την ορθολογική ανάλυση.
Στα μαθηματικά, ο Εύδοξος μνημονεύεται για δύο μείζονες συνεισφορές.
Η μια ήταν η θεωρία των αναλογιών και η άλλη η μέθοδος της εξάντλησης.
Η πρώτη αποτέλεσε μια νίκη της λογικής επί του αδιεξόδου που είχε προκαλέσει η ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών από τους πυθαγόρειους. Το αδιέξοδο αυτό ήταν ιδιαίτερα εμφανές σε γεωμετρικά θεωρήματα σχετικά με όμοια τρίγωνα, θεωρήματα τα οποία αρχικά είχαν αποδειχθεί στη βάση της υπόθεσης ότι οποιαδήποτε δύο μεγέθη ήταν σύμμετρα. Όταν η υπόθεση αυτή καταρρίφθηκε, το ίδιο έπαθαν και οι υπάρχουσες αποδείξεις ορισμένων από τα πλέον εξέχοντα θεωρήματα της γεωμετρίας. Το αποτέλεσμα ονομάζεται ορισμένες φορές “λογικό σκάνδαλο” της αρχαίας ελληνικής γεωμετρίας. Δηλαδή, ενώ οι άνθρωποι συνέχιζαν να πιστεύουν ότι τα θεωρήματα ήταν σωστά όπως ήταν διατυπωμένα, δεν διέθεταν πλέον έγκυρες αποδείξεις που να στηρίζουν αυτή την πεποίθηση. Ο Εύδοξος ήταν εκείνος που ανέπτυξε μια έγκυρη θεωρία των αναλογιών και με αυτό τον τρόπο παρείχε τις επί μακρόν ζητούμενες αποδείξεις. Η θεωρία του, η οποία πρέπει να προκάλεσε ομαδικό αναστεναγμό ανακούφισης στον αρχαίο ελληνικό μαθηματικό κόσμο, βρίσκεται σήμερα πολύ εύκολα στο βιβλίο V των Στοιχείων του Ευκλείδη.
Η άλλη μείζων συνεισφορά του Εύδοξου, η μέθοδος της εξάντλησης, βρήκε άμεση εφαρμογή στον προσδιορισμό εμβαδών και όγκων πολυπλοκότερων γεωμετρικών σχημάτων. Η γενική στρατηγική ήταν η προσέγγιση ενός ακανόνιστου σχήματος με διαδοχικά, γνωστά στοιχειώδη σχήματα, καθένα από τα οποία παρείχε μια καλύτερη προσέγγιση απ’ ό,τι το προηγούμενο.
Για παράδειγμα, μπορούμε να θεωρήσουμε έναν κύκλο ως ένα απολύτως καμπυλόγραμμο, και άρα αρκετά μη πραγματεύσιμο, επίπεδο σχήμα. Όμως, αν εγγράψουμε στο εσωτερικό του ένα τετράγωνο και κατόπιν διπλασιάσουμε τον αριθμό των πλευρών του τετραγώνου ώστε να πάρουμε ένα οκτάγωνο, και κατόπιν διπλασιάσουμε εκ νέου τον αριθμό των πλευρών ώστε να προκύψει ένα 16γωνο κ.ο.κ., θα διαπιστώσουμε ότι αυτά τα σχετικά απλά πολύγωνα προσεγγίζουν ολοένα και περισσότερο τον ίδιο κύκλο. Με ευδόξειους όρους, τα πολύγωνα “εξαντλούν” τον κύκλο εκ των έσω.
Η διαδικασία αυτή είναι, στην πραγματικότητα, ακριβώς ο τρόπος με τον οποίο ο Αρχιμήδης προσδιόρισε το εμβαδόν του κύκλου.
Στον Εύδοξο χρωστούσε ο Αρχιμήδης αυτό το θεμελιώδες λογικό εργαλείο. Επιπρόσθετα, ο Αρχιμήδης απένειμε τα εύσημα στον Εύδοξο για την χρήση της μεθόδου της εξάντλησης στην απόδειξη ότι “ο όγκος κάθε κώνου είναι το ένα τρίτον του όγκου του κυλίνδρου που έχει την ίδια βάση με τον κώνο και ίσο ύψος”, θεώρημα που σε καμία περίπτωση δεν είναι τετριμμένο. Ο αναγνώστης που είναι εξοικειωμένος με ανώτερα μαθηματικά θα αναγνωρίσει στη μέθοδο της εξάντλησης τον γεωμετρικό πρόδρομο της σύγχρονης έννοιας του ορίου, η οποία με τη σειρά της βρίσκεται στον πυρήνα του απειροστικού λογισμού. Η συνεισφορά του Εύδοξου ήταν σημαντική, και ο ίδιος θεωρείται συνήθως ο καλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας δίπλα στον ανυπέρβλητο Αρχιμήδη.
Στη διάρκεια του τελευταίου τρίτου του 4ου αιώνα π.Χ. ο Μέγας Αλέξανδρος ξεκίνησε από τη Μακεδονία για να κατακτήσει τον κόσμο.
Οι κατακτήσεις του τον έφεραν στην Αίγυπτο όπου, το 332 π.Χ., ίδρυσε την πόλη της Αλεξάνδρειας στις εκβολές του Νείλου. Η πόλη μεγάλωνε γρήγορα και, σύμφωνα με αναφορές, στις επόμενες τρεις δεκαετίες ο πληθυσμός της άγγιξε το μισό εκατομμύριο.
Ιδιαίτερη σημασία είχε η ίδρυση της μεγάλης Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, η οποία παραγκώνισε την Ακαδημία του Πλάτωνα ως το επιφανέστερο κέντρο μαθητείας στον κόσμο.
Σε κάποια χρονική στιγμή, η βιβλιοθήκη διέθετε περισσότερους από 600.000 κυλίνδρους από πάπυρο, συλλογή πιο πλήρη και εκπληκτική από οτιδήποτε είχε δει ο κόσμος μέχρι τότε.
Μάλιστα, η Αλεξάνδρεια θα παρέμενε η πνευματική εστία της Μεσογείου στη διάρκεια των αρχαίων ελληνικών και ρωμαϊκών χρόνων μέχρι την τελική καταστροφή της το 641 μ.Χ. από τους Άραβες.


Ακολουθει Μερος Β

William Dunham

ΤΑ ΜΕΓΑΛΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ
ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Ένα ταξίδι στη μεγαλοφυΐα

Εκδόσεις Αλεξάνδρεια


Δεν υπάρχουν σχόλια